Загальні питання з курсу Вища Математика
55. Достатні ознаки збіжності додатніх числових рядів. Ознака порівняння.
Ряд вигляду
називається додатним, якщо всі його члени невід'ємні
Для того, щоб визначити чи ряд збіжний чи розбіжний в літературі зібрані правила, які дозволяють це швидко. Розглянемо по черзі ознаки збіжності числових рядів.
Ознака порівняння
Розглянемо два ряди з додатними членами
Для них виконуються наступні твердження: 1. Якщо члени ряду 
не більші відповідних членів 
збіжного ряду 
(
), то ряд 
збігається.
Якщо кожний член ряду більший (або рівний) відповідного члена розбіжного ряду , то ряд розбігається.
Гранична ознака порівняння
Нехай ряди 
та 
додатні, а також існує скінчена границя
причому 
, тоді обидва ряди або одночасно збіжні, або одночасно розбіжні.
Ознака Даламбера
Нехай члени ряду
додатні і відношення 
-го члену до 
-го має скінченну границю при 
Якщо
, то ряд збігається.
Якщо 
- ряд розбігається.
При 
треба застосовувати іншу ознаку збіжності, оскільки дана ознака не може визначити чи збіжний ряд чи розбіжний.
Радикальна ознака Коші
Якщо для ряду з додатними членами існує границя
то при ряд збіжний, а при - розбіжний.
При потрібно застосовувати іншу ознаку збіжності.
Інтегральна ознака Коші
Нехай задано ряд
причому 
додатна, неперервна і монотонно спадна функція від 
.Тоді
1) ряд 
збіжний, якщо невластивий інтеграл
збіжний;
2) ряд розбіжний, коли інтеграл розбіжний.
Під збіжністю інтегралу слід розуміти його обмеженість, тобто
Розглянемо приклади застосування інтегральної ознаки Коші.
12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62