Загальні питання з курсу Вища Математика
28.Зростання і спадання функцій…
Якщо диференційовна на деякому проміжку функцій зростає (спадає) на цьому проміжку, то f ‘(х) ≥ 0 (f'(х)≤0).
Доведення, Нехайf(х) зростае на (а;Ь). Надамо аргументуx приріст ∆x так, що х +∆x є (а;Ь), і розглянемо частку
Оскільки f(х) - зростаюча, то f(х+∆х)>f(х) при ∆х>0 і f(x+∆x)<f(х) при ∆x<0, отже, 
,тобто f ’(х)≥ 0, що й треба було довести.
Аналогічне доведення для спадної функції.
Достатня ознака зростання (спадання) функції Якщо
для всіх х є (а,b), то функція зростає (спадає) на проміжку (а;Ь).
Доведення. Згідно з теоремою Лагранжа про скінченні прирости функції f(х) для довільних 
є (а;Ь) і таких, що 
отримаємо
Оскільки f(ξ)>0 за умовою і 
, за припущенням, то
, як добуток двох додатних множників звідки 
тобто f(х) - зростаюча функція на (а;b).
Аналогічно доводиться достатня ознака спадання функції на проміжку.
Означення 3. Функція f(x) має в точці х0 максимум (мінімум), якщо існує окіл цієї точки, в якому для всіх х≠
виконується нерівність f(х)<f() (f(x) >f())).
Необхідна умова існування екстремуму Для того, щоб точка була точкою екстремуму функції, визначеної околі цієї точки, необхідно, щоб похідна функції в цій точці була рівна нулю (f'()=0) або не існувала в точці ».
Достатня умова існування екстремуму Нехай f(х) диференційовна в околі критичної точки , за винятком, можливо, самої точки , в якій функція f(х) є неперевною. Тоді:
1) якщо при переході через точку похідна f’(х) змінює знак з плюса на мінус, то в точці функція має максимум;
2) якщо при переході через точку ) похідна f'(x) змінює знак з мінуса на плюс, то в точці функція має мінімум; 3) якщо при переході через точку похідна f'(х) не змінює зтак, то точка не є точкою екстремума функції.
12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62