Главная->Математика->Содержание->26.Диференціювання складених, неявно…..

26.Диференціювання складених, неявно…..

Якщо аргументом функції є функція, тобто у=f(z), де z = φ(x), то функція у = f[φ(х)] називається складною. Функція f(z) називається зовнішньою, а функція φ (х) - внутрішньою фу­нкцією або проміжним аргументом.

Для знаходження похідної складних функцій необхідно вмітиїх подати у вигляді ланцюга елементарних функцій.

Теорема 7. Якщо у = f(z), z= φ (х) - диференційовні функції від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює іобутку похідної зовнішньої функції по проміжному аргументу на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною:

У’ = f ’[φ (x)]φ’(x)

Похідна оберненої функції

Розглянемо функцію у = f(z),диференційовну і строго мо­нотонну на деякому проміжку (а;b). Якщо змінну у розглядати як аргумент, а змінну х як функцію, то нова функція х = φ(у) є обер­неною до даної  і   неперервною   на   відповідному   проміжку(f(a);f(b))

Теорема 8. Для диференційовної функції з похідною, що не дорівнює нулю, похідна оберненої функції дорівнює оберненій величині похідної даної функції:

Означення 1. Функція, задана у вигляді, де t є (а;β), є

параметрично заданою.

Часто при заданні функцій х та у виражаються через деяку третю величину t, що називається параметром.

Наприклад, якщо еліпс  +=1,то-парамет­ричне рівняння еліпса.

Ту саму функцію параметрично можна задати різними спо­собами, але зміст t буде іншим.

Теорема 1. Якщо функція у від х задана параметрично

, де φ(t) і g(t) - диференційовні функції і φ ‘(t)≠0, то похі­дна цієї функції

Доведення, х = φ(t) - розв'яжемо відносно t,t=k(x), k -фу­нкція, обернена до φ(t). у=g(t)- складна функція від х і маємо y=g(k(х)). Знайдемо похідну цієї складної функції: .=*..=*..

Тепер використаємо правило диференціювання оберненої фу-

нкція= Маємо=* = Що й потрібно було довести.

Означення 2. Функція у від аргументу х задана неявно, якщо вона записана рівнянням F(х; у)=0. нерозв 'язаним відносно залежної змінноїу.

Наприклад,+=1, +=1

Для обчислення похідної у неявно заданої функції необхідно знайти похідну лівої і правої частини за відомими правилами таблицею похідних. При цьому необхідно пам'ятати, що х — незалежна змінна, а у—функція від х, тому x’=1,y'=y’

Алгоритм диференціювання неявно заданих функцій

1.  ПродиференціюватиF(x;у)=0по х, розглядаючи лі частину як складну функцію х.

2. Розв'язати одержане рівняння відносно у'х.

 

 

 

 

 

12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

Схожі підручники

• Реферат на тему « Особливості та недоліки оподаткування операцій з недержавного пенсійного забезпечення в Україні »
• питання з курсу Інвестування
• Голубая звезда (онлайн)
• САМОСТІЙНІ РОБОТИ З КУРСУ «ЕКОЛОГІЯ»
• Самостiйна робота з курсу - Системи промислових технологій в галузях економіки
• ДИЛЕММА ИННОВАТОРА (частина 1) (онлайн)