Главная->Математика->Содержание->59.Розклад в степеневий ряд.

Загальні питання з курсу Вища Математика

59.Розклад в степеневий ряд.

Для функції щомаєвсіпохідні до го порядку включно, в околідеякої точки справедлива формула Тейлора:

дезалишковий член у формі Лагранжа обчислюється за формулою

Якщофункція маєпохіднівсіхпорядків в околі точки то у формулі Тейлора число можнабрати як завгодно великим. Припустимо, що в околіточки залишковий член прямує до нуля при :

Тоді, перейшовши у формулі (13.51) до границі при одержимо безмежний ряд, якийназивається рядом Тейлора:

Останнярівність справедлива лише в тому випадку, коли Тоді написаний справа ряд (13.52) збігається і його сума дорівнюєданійфункції Дійсно, де

Але єа частинна сума ряду (13.52), їїграницядорівнюєсумі ряду, щостоїть в правійчастинірівності (13.52). Отже, рівність (13.52) справедлива. Ізпопередньоговипливає, що ряд Тейлора представляєдеякуфункціютількитоді, коли Якщо то ряд не представляєданоїфункції, хоча й можезбігатися (до іншоїфункції). Якщо в ряді Тейлора покласти то одержимо частиннийвипадок ряду Тейлора, якийназивається рядом Маклорена: (13.53)

Для кожноїізелементарнихфункційіснуютьтакі і, що в інтервалі вона розкладається в ряд Тейлора (Маклорена).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

Категорії

Загальні питання з курсу Вища Математика

Схожі підручники