Главная->Математика->Содержание->49. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

Загальні питання з курсу Вища Математика

49. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

Означення.Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду y’+p(x)*y=g(x), де p(x) та g(x) – непевні на деякому проміжку функції.

Алгоритм методу Бернуллі:

1.Розв'язок лінійного диференціального рівняння шукаємо у вигляді добутку двох невідомих функцій y=u*v, де u=u(x),v=v(x).Одну з цих функцій можна вибрати довільно, а друга визначається з даного рівняння.

2.Оскільки y=u*v,то y’=u’v+uv’(похідна добутку).

3.Підставимо y=u*v і y’=u’v+uv’ у рівняння y’+p(x)*y=g(x) і одержимо u’v+uv’+p(x)*u*v= g(x). Згрупуємо другий і третій доданки винисенням за дужки спільного множника і одержимо u’v+u(v’+p(x)*v)=g(x).

4.Спочатку визначимо частинний розв’язок v=v(x), розв’язавши рівняння v’+p(x)*v=0 і покладаючи довільну сталу інтегрування рівною нулю (С=0). Дане рівняння є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

5.Підставивши знайдену функцію v=v(x) в рівняння u’v+uv’+p(x)*u*v= g(x) маємо u’v+u*0=g(x), тобто u’v(х)=g(x) – диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними відносно u(x).

З цього рівняння знайдемо u=u(x)+С.

6.Отримавши u=u(x) і v=v(x), знайдемо загальний розв’язок y=u*v=( u(x)+С)* v(x).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

Категорії

Загальні питання з курсу Вища Математика

Схожі підручники