Главная->Математика->Содержание->52. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Загальні питання з курсу Вища Математика

52. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Означення.Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами називають рівняння виду y”+p*y’+q*y=0, де p,q – сталі величини.

Означення.ВизначникW(x)= y1 y2 називають визначником Вронського або

y’1y’2

вронсіаномрозв’язківy1= y1(х) і y2= y2(х).

Означення.Два частинних розв’язки y1(х) та y2(х) рівняння y”+p*y’+q*y=0 утворюють фундаментальну систему розв’язків,якщо для довільного х визначник цих функцій не дорівнює нулю W(x)≠0.

Означення.Рівнянняk2+pk+q=0 називається характеристичним рівнянням лінійного однорідного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами y”+p*y’+q*y=0.

Три випадки:

1)Корені характеристичного рівняння дійсні і різні k1≠k2 : y1=еk1х; y2=еk2х – частинні розв’язки, у=C1еk1х + C2 еk2х – загальний розв’язок.

2) Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні k1=k2 : y1=еk1х; y2=х*еk1х – частинні розв’язки, у=еk1х (C1+х*C2) – загальний розв’язок.

3) Корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені a±bi : y1=еaхcos(bx); y2=еaхsin(bx) – частинні розв’язки, у=еaх (C1cos(bx)+C2sin(bx)) – загальний розв’язок.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

Категорії

Загальні питання з курсу Вища Математика

Схожі підручники