Зошит з курсу «Теорія ймовірності та Математичної статистики»
Практичне заняття № 4. Тема: Розв’язування задач на використання граничних теорем у схемі Бернуллі.
Приклад 1. Знайти імовірність появи події А рівно 70 раз у 243 випробуваннях, якщо імовірність появи цієї події у кожному випробуванні є величина стала і дорівнює 0,25.
Розв’язання. За умовою 
; 
. Кількість випробувань число достатньо велике, тому скористаємось Локальною теоремою Муавра-Лапласа: 
, де 
– функція Гаусса, 
- аргумент.
Знайдемо значення х:
.
За таблицею знайдемо 
.
Тоді шукана імовірність буде
.
Приклад 2. Імовірність появи події А у кожному із 100 незалежних випробувань величина стала і дорівнює 0,8. знайти імовірність того, що подія А настане:
а) не менше як 75 раз і не більше як 90 раз;
б) не менше як 75 раз;
в) не більше як 74 рази.
Розв’язання. Для обчислення імовірності скористаємось Інтегральною теоремою Муавра-Лапласа:
, де 
– функція Лапласа, значення аргументу - 
.
а) за умовою 
Обчислимо 
:
; 
- з таблиць.
.
;
б) якщо подія А з’явилась не менше 75 раз, то це означає, що число появ події може дорівнювати 75 або 76, або 77,…, або 100 раз.
Отже ; 
.
.
Шукана імовірність 
.
в) Події – „А з’явилась не менше 75 раз” і „А з’явилась не більше 74 разів” протилежні, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці.
Отже, 
.
Приклад 3. Завод відправив на базу 9000 доброякісних виробів. Імовірність пошкодження кожного виробу під час транспортування на базу становить 0,0001. Знайти імовірність того, що серед 9000 виробів при транспортуванні буде пошкоджено:
1) 3 вироби;
2) не більше як 3 вироби.
Розв’язання. За умовою задачі маємо 
і 
. Оскільки n число велике, а р – достатньо мале, то для обчислення імовірності застосуємо формулу Пуассона 
.
Для цього обчислимо значення параметра 
.
1) 
(за таблицею додатку при 
).
2) 
.
; 
; 
.
Отже, 
.
Приклад 4. Ймовірність виявити помилку у фінансовій звітності підприємства при одній перевірці дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що при 
незалежних перевірках, відхилення відносної частоти виявлення порушення від ймовірності цієї події по модулю не перевищить 
Розв’язання. Використовуємо формулу ймовірності відхилення відносної частоти події 
від ймовірності 
: 
тут 
12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32