Зошит з курсу «Теорія ймовірності та Математичної статистики»
Практичне заняття № 1. Тема: Означення ймовірності. Елементи комбінаторики та теорії множин.
Приклад 1. З карток з цифрами 1; 2; 3; 4; 5 навмання вибирають три картки, розкладають їх у ряд і фіксують утворене число.
Вкажіть загальну кількість елементарних подій даного експерименту і кількість елементарних подій, які сприяють події В=„Утворилося число кратне 3”.
Розв’язання. Для вибраних трьох карток важливим є порядок, тому для підрахунку загальної кількості елементарних подій використаємо розміщення 
.
Події В сприяє поява числа, сума цифр якого ділиться на три. Серед даних цифр виберемо всі трійки таких, щоб їх сума ділиться на 3: 1, 2, 3 або 1, 3, 5, або 2, 3, 4, або 3, 4, 5. З кожної такої трійки цифр можна утворити 
чисел, а всього чисел, які діляться на 3, буде 
. Отже, події В сприяє 24 елементарні події.
Приклад 2. У скарбниці є 200 монет одного номіналу, серед яких 25 монет 1992 року випуску. Яка ймовірність того, що навмання вибрана монета датована 1992 роком?
Розв’язання. Експеримент полягає у вийманні зі скарбнички навмання однієї монети і фіксації її року випуску. Враховуючи, що монети одного номіналу, тому мають однакову вагу і величину вважаємо, що жодна монета не має переваги над іншими бути вибраною. Тому наслідки експерименту вважаємо рівноможливими. Цим самим імовірнісну модель побудовано. Подія А – „вийнята монета 1992 року”.
Всього наслідків експерименту є 200. Події А сприяють 25 наслідків, тому 
.
Приклад 3. Двоє осіб домовились зустрітися в певному місці у проміжку часу від 
до 
годин, а також про те, що той, хто прийде першим, чекатиме на другого протягом 
годин. Знайти ймовірність того, що зустріч відбудеться, якщо кожна особа може прийти в довільний момент часу 
.
Розв’язання. Простір 
– множина точок квадрата зі стороною 
. Подіями доцільно вважати частини квадрата, що мають площу. Події А – „зустріч відбудеться” відповідає заштрихована частина квадрата, якщо момент приходу кожної особи –
і 
. Подія А відбудеться за умови 
, де 
, 
.
Представлені умови зобразимо на площині в системі координат 
(рис.1). Часу Т відповідає площа квадрата ONCK, а події А площа шестикутника OEDCBA.
 |
Рис. 1.
Скориставшись геометричним означенням ймовірності дістанемо:
.
12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32