Главная->ЕММ->Содержание->І. Постановка математичної моделі економічних оптимізаційних задач

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання розрахункової роботи з навчальної дисципліни “Економіко-математичні методи та моделі оптимізаційні методи та моделі”

І. Постановка математичної моделі економічних оптимізаційних задач

Роботу будь-якого підприємства можна характеризувати певними об’єктивними і технологічними показниками устаткування, які зазвичай не можна змінювати в процесі виробництва. Ці показники називаються некерованими змінними або параметрами. Показники, що залежать від суб’єктивних рішень (наприклад, обсяг сировини, запущений в обробку або кількість кінцевої продукції, що запланована до випуску), називається керованими змінними.

Щоб скласти найкращий план господарювання, потрібно оптимізувати цільову функцію, тобто добрати такі значення керованих змінних, для яких цільова функція набуває максимального (якщо умова йде про прибуток) або мінімального (якщо йдеться про собівартість продукції) значення. Однак неможливо запустити у виробництво більше сировини, ніж є на підприємстві, і не можна випустити більше продукції, ніж дають змогу наявні сировинні, технологічні, фінансові чи інші ресурси. Інакше кажучи, найкращий план слід визначити на обмеженій множині керованих змінних, яка називається допустимою множиною розв’язків.

Виражені через керовані змінні цільова функція й обмеження утворюють математичну модель задачі оптимізації. Будь-який набір значень змінних, що задовольняє обмеження, визначає допустимий план, а той із них, на якому досягається максимум (мінімум) цільової функції, називається оптимальним планом.

Розглянемо приклади планування та керування, математичні моделі яких зводяться до оптимальних задач.

У загальному випадку задачу оптимального планування виробництва формулюють так.

Нехай підприємство має видів ресурсів у кількостях і технологічно може випускати видів різних виробів. Норму витрат ресурсу -го виду () на одиницю -го виробу () задано, позначимо її як . Ефективність випуску одиниці виробу -го найменування, тобто прибуток підприємства після його виготовлення та реалізації – відома величина, вона дорівнює . Потрібно визначити план випуску виробів (оптимальний асортимент), за якого сумарний показник ефективності набуває найбільшого значення.

Нехай – кількість одиниць виробу -го виробу. У цій задачі змінні керовані, а всі інші – фіксовані й заздалегідь задані, тобто некеровані.

Можна визначити задачу на знаходження таких значень , що дають максимум функції:

, (1)

при цьому повинно виконуватися обмеження:

, . (2)

Цілком природні в цій задачі й так звані прямі обмеження на керовані змінні, оскільки безглуздо говорити про від’ємні обсяги випуску продукції:

Отже, остаточно задача набирає такого вигляду:

знайти , (3)

для обмежень , ; (4)

. (5)

У цьому разі цільова функція й обмеження лінійні щодо керованих змінних ( записані у зазначені вирази в першому степені зі сталими коефіцієнтами), тому задача (3–5) називається задачею лінійного програмування.

Будь-який упорядкований набір () значень змінних, що задовольняє всі обмеженні (2) (тобто будь-який розв’язок системи лінійних рівнянь або нерівностей (2)), називається допустимим розв’язком (планом) задачі. Множина всіх допустимих розв’язків називається допустимою множиною задачі. Допустимий розв’язок , для якого цільова функція (3) набуває максимального (мінімального) значення, називається оптимальним розв’язком, оптимальним планом (просто розв’язком) розглянутої задачі лінійного програмування.

Приклад 1.

Було встановлено, що для найкращої відгодівлі тварин необхідно щоб вони щодоби споживали корм, який містить вітаміни: А, В, С у кількості не менше ніж відповідно 100, 50, 200 одиниць. Для відгодівлі тварин використано два види корму: Р1 та Р2. Місткість вітамінів А, В, С в 1 кг корму Р1 відповідно становить 2; 3; 0 одиниць, а в Р2 – 1; 2; 3 одиниць. Вартість 1 кг корму Р1 становить 50 коп., корму Р2 – 60 коп. Необхідно скласти такий раціон харчування, щоб тварини отримували не менше за необхідну кількість вітамінів, а вартість цього корму була мінімальна.

Розв’язок

Для зручності запишемо вихідні дані у таблицю 1.

Таблиця 1

Вітамінний раціон худоби

Вітаміни в кормі	Вид корму	Знак нерівності	Кількість
Р1	Р2
А	2	1		100
В	3	2		50
С	0	3		200
Вартість	0,5	0,6	Х	Х

Позначимо за – кількість корму Р1, – кількість корму Р2. Місткість у раціоні вітаміну А: , вітаміну В: , вітаміну С: .

Їх вміст у раціоні не повинен бути меншим за вказану кількість, внаслідок чого отримаємо числові нерівності, для вітамінів А, В, С відповідно: , , .

Вартість раціону у грн.: . Крім того, на значення і накладають так звані прямі обмеження (умова невід’ємності): та . Отже, отримаємо математичну модель задачі:

Задачу можна розв’язати графічним або симплексним методами в результаті отримаємо відповідь: , , , . Отже, щоб забезпечити раціональне харчування тварин необхідно, щоб вони споживали корм Р1 у розмірі 50/3 кг, корм Р2 – 200/3 кг, при цьому затрати на його придбання становитимуть 145/3 грн. Дана задача є прикладом класичної для теорії оптимізації «задачі про дієту».

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Категорії

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання розрахункової роботи з навчальної дисципліни “Економіко-математичні методи та моделі оптимізаційні методи та моделі”

Схожі підручники