МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання розрахункової роботи з навчальної дисципліни “Економіко-математичні методи та моделі оптимізаційні методи та моделі”

Приклад 1

перетворюємо систему

1. Нерівності перетворюємо на рівняння.

2. Записуємо рівняння у формі рівняння прямої у відрізках на осях: , де і – показують у яких точках пряма перетинає відповідно осі і . Записуємо рівняння прямих:

, де координати двох її точок .

методом підбору знаходимо значення:

	0	1	2
	0	1	2

де координати двох її точок .

пряма : вертикальна пряма, що проходить через точку .

задає вісь ; – .

– .

3. Побудуємо ці прямі в системі координат (рис.1).

4. Знаходимо область розв’язків для кожної нерівності:

- пряма, що відповідає обмеженню нерівності розбиває площину на дві частини – півплощини;

- береться довільна точка, з лівої чи правої півплощини і підставляється у відповідну нерівність. Якщо утворена числова нерівність вірна, то розв’язки знаходяться у тій півплощині, що містить вибрану точку;

- область допустимих розв’язків – це спільна частина розв’язків усіх нерівностей, тобто допустима множина розв’язків задачі являє собою перетин усіх півплощин. Область допустимих розв’язків (далі ОДР) – це множина всіх , , для яких виконуються всі обмеження задачі.

Рис. 1. Графічний розв’язок задачі

Отже, допустима множина розв’язків даної задачі являє собою чотирикутник АВСД.

5. Як відомо, напрямок зростання довільної функції показує її вектор-градієнт, утворений із перших частинних похідних цієї функції. Для лінійної функції вектор-градієнт – це вектор нормаль, тобто вектор, перпендикулярний до прямої. Будується , для зручності скоротимо на 100 – . Перпендикулярно до нього будується лінія рівнів. Паралельно переносимо цю лінію в напрямку вектора нормалі. Необхідно зафіксувати лінії рівня, що перетинають ОДР першою та останньою. Першою, яку перетне лінія рівнів, є точка А – точка мінімуму, а останньою, є точка В і С – точки максимуму.

6. Визначаємо значення цільової функції:

- розв’язуємо систему рівнянь із двох прямих, що перетинаються у даній точці

: відповідно точка А має координати .

Знайдемо координати точок В і С із систем лінійних рівнянь. З креслення зрозуміло, що В є точкою перетину прямих , С – відповідно

: , відповідно точка В має координати .

: , відповідно точка С має координати .

Підставляємо отримане значення у цільову функцію:

- т. А

- т. В

- т. С .

Відрізок ВС, по якому наша функція досягає максимуму може бути заданий таким чином: ВС: . Значення цільової функції в будь-якій точці цього відрізку зберігає стале, максимальне значення: .

Відповідь: мінімальне значення функції дорівнює нулю і знаходиться у т. , максимальне значення 1200, причому це будь-яке значення, що знаходиться на відрізку ВС.

Рис. 2. Графічний розв’язок задачі

Зауваження. Перебираючи всі вершини багатогранника допустимих розв’язків і порівнюючи між собою значення цільової функції в цих вершинах, можна вибрати потрібне (найбільше чи найменше). Якщо багатогранник допустимих розв’язків має забагато вершин, то їх перебір стає клопіткою задачею. У цьому разі пошук потрібної вершини має бути спрямованим. Саме ці ідеї реалізує симплексний метод – метод послідовного поліпшення плану.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Категорії

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання розрахункової роботи з навчальної дисципліни “Економіко-математичні методи та моделі оптимізаційні методи та моделі”

Схожі підручники