Главная->Фізика->Содержание->§49. Робота при переміщенні заряду в електростатичному полі. Потенціал електричного поля. Напруженість як градієнт потенціалу

ЕЛЕКТРОСТАТИКА

§49. Робота при переміщенні заряду в електростатичному полі. Потенціал електричного поля. Напруженість як градієнт потенціалу

Обчислимо роботу сил електростатичного поля при переміщенні точкового заряду в однорідному полі, яке створене двома скінченими паралельними зарядженими площинами, розміри яких значно більші, ніж відстань d між ними. Нехай позитивний заряд q переміщається силою поля F=qE з точок 1, 2 і 3 в точку 4 (рис. 100).

Робота сил поля

Якщо заряд переміщається з точки 2 в точку 4, то робота

Підрахуємо тепер роботу переміщення заряду q із точки 3 в точку 4. Розіб’ємо криву на n ділянок, кожну з яких можна з великою точністю взяти за пряму. Тоді

Отже, робота при переміщенні заряду у трьох випадках однакова, хоча траєкторії руху заряду різні.

Розглянемо тепер електричне поле, яке створюється нерухомим точковим зарядом q у вакуумі (рис. 101).

Нехай в електростатичному полі заряду q вздовж довільної траєкторії переміщується точковий заряд під дією сили з точки 1, що перебуває на відстані від джерела поля в точку 2 на відстані від нього. Робота сили на елементарному переміщенні дорівнює:

Робота при переміщенні заряду з точки 1 в точку 2 дорівнює:

Ця робота не залежить від траєкторії переміщення, а визначається лише початковим (1) і кінцевим (2) положенням заряду. Отже, електростатичне поле точкового заряду є потенціальним, а електростатичні сили – консервативними.

Оскільки робота консервативних сил виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії, то

Отже, потенціальна енергія заряду в полі заряду q у вакуумі дорівнює:

Домовимось вважати потенціальну енергію заряду на нескінченно великій відстані від заряду q рівною нулю. При W=0 і C=0. Тому потенціальна енергія заряду , що перебуває на відстані r від точкового заряду q, дорівнює

Якщо заряди та q однойменні, то потенціальна енергія їхньої взаємодії (відштовхування) додатна і зростає при зближенні цих зарядів (рис. 102). У випадку взаємного притягання різнойменних зарядів потенціальна енергія їхньої взаємодії від’ємна і зменшується при наближенні одного із зарядів до іншого.

Потенціальна енергія W заряду , що перебуває в полі точкових зарядів , , …, дорівнює сумі його потенціальних енергій W у полях, що створюються кожним зарядом зокрема:

де - відстань від заряду до заряду .

Величина є однакова для всіх зарядів в даній точці поля і називається потенціалом поля.

Потенціалом будь-якої точки електростатичного поля називають фізичну величину, яка числово дорівнює потенціальній енергії одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку.

Одиниця потенціалу – вольт. 1B - це потенціал такої точки поля, в якій заряд величиною 1 Кл володіє потенціальною енергією в 1 Дж.

Потенціал поля, створеного одним точковим зарядом q у вакуумі, дорівнює:

Роботу, яку виконують електростатичні сили при переміщенні заряду від точки 1 до точки 2 електростатичного поля, можна записати так:

де та - потенціали електростатичного поля в точках 1 та 2.

Якщо з точки з потенціалом заряд віддаляється в нескінченність , то робота сили поля буде дорівнювати . Звідси

Потенціал даної точки електростатичного поля – це така фізична величина, яка числово дорівнює роботі, яку виконують зовнішні сили (проти сил електростатичного поля) при переміщенні одиничного позитивного заряду з нескінченності в дану точку поля.

Потенціал поля, яке створюється системою зарядів, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, створених кожним із зарядів зокрема:

Наприклад, потенціал поля в точці М (рис. 103), яке створене зарядами , , , дорівнює

Електричне поле можна описати або за допомогою векторної величини , або за допомогою скалярної величини φ. Очевидно, що між цими величинами повинен існувати зв’язок.

Нехай в електростатичному полі знаходиться заряд q. Робота при переміщенні цього заряду вздовж осі ОХ між двома нескінченно близькими точками дорівнює:

З іншого боку, елементарна робота при переміщенні заряду q в електростатичному полі виражається через потенціали цього поля:

Тоді, прирівнявши елементарні роботи, отримуємо:

, .

Знак „ – ” означає, що під дією сил електричного поля додатній заряд переміщується в бік зменшення потенціалу.

Аналогічні міркування можна поширити і на напрямки переміщень вздовж осей OY і ОZ:

; .

Отже, ми знайшли та – компоненти вектора напруженості E:

Це рівняння можна переписати так:

У векторному аналізі градієнтом скалярної величини φ називається така векторна величина, для якої справедливий запис:

Отже,

Знак „ – ” вказує на те, що вектор напруженості поля напрямлений в бік найшвидшого зменшення потенціалу. Напруженість в якій-небудь точці електростатичного поля дорівнює градієнту потенціалу в цій точці, взятому з оберненим знаком.

Знаючи потенціал φ в кожній точці поля, за формулою можемо обчислити напруженість в кожній точці поля.

Можна розв’язати і обернену задачу, тобто знаючи напруженість поля в кожній точці поля, можна знайти різницю потенціалів між двома довільними точками.

Робота при переміщені заряду з точки 1 в 2 дорівнює:

але, з іншого боку,

Звідси

Інтеграл можна брати вздовж довільної лінії, яка з’єднує точки 1 та 2, оскільки електростатичне поле є консервативне.

При обході по замкненому контуру заряд потрапляє в кінцеву точку поля, яка збігається з початковою і , отже

Цей інтеграл називають циркуляцією вектора напруженості вздовж замкненого контуру (рис. 104).

Циркуляція вектора напруженості електростатичного поля вздовж замкненого контуру дорівнює нулю.

Векторне поле називається потенціальним, якщо циркуляція вектора вздовж довільного замкненого контуру дорівнює нулю.

Геометричне місце точок з однаковим потенціалом називається еквіпотенціальною поверхнею.

Для еквіпотенціальних поверхонь:

При переміщенні по еквіпотенціальній поверхні на відрізок dl потенціал не змінюється, а, отже, і робота

Звідси

Оскільки

; , то .

В результаті кут між E та dl дорівнює .

Вектор напруженості електричного поля в кожній точці напрямлений перпендикулярно до еквіпотенціальної поверхні.

Еквіпотенціальні поверхні точкового заряду – це сферичні оболонки навколо нього (рис. 105) .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Категорії

ЕЛЕКТРОСТАТИКА

Схожі підручники