ЕЛЕКТРОСТАТИКА
§53. Електричне поле в речовині. Теорема Остроградського-Ґаусса для електростатичного поля в діелектрику. Електричне зміщення
Для встановлення кількісних закономірностей поля в діелектрику внесемо в однорідне зовнішнє електростатичне поле, яке створюється двома нескінченними паралельними різнойменно зарядженими пластинами, пластину з однорідного діелектрика (рис. 127).
Під дією поля діелектрик поляризується, тобто відбувається зміщення зарядів. Внаслідок цього на правій грані діелектрика буде надлишок позитивного заряду з поверхневою густиною 
, на лівій – від’ємного заряду з поверхневою густиною 
. Ці нескомпенсовані заряди, що появляються внаслідок поляризації діелектрика, називаються зв’язаними. Оскільки їх поверхнева густина 
менша від густини 
вільних зарядів площин, то не все поле 
компенсується зарядами діелектрика: на границі діелектрика відбувається розрив ліній напруженості зовнішнього електричного поля. Отже, поляризація діелектрика викликає зменшення в ньому поля порівняно з початковим зовнішнім полем. Поза діелектриком 
. Поява зв’язаних зарядів приводить до виникнення електричного поля 
, яке ослаблює . Результуюче поле всередині діелектрика:
.
Оскільки поля 
і 
створені двома нескінченними зарядженими площинами, то
і 
.
Тому результуюче поле
.
Отже, напруженість поля при наявності діелектрика обчислюється за такою ж формулою, як і для вакууму з тією лише відмінністю, що до вільних зарядів треба додати зв’язані заряди протилежного знака.
Визначимо поверхневу густину зв’язаних зарядів .
Повний дипольний момент пластинки діелектрика 
, де S – площа грані пластинки, d – її товщина. З іншого боку, 
. Тоді, 
, і 
, тобто поверхнева густина зв’язаних зарядів дорівнює модулю вектора поляризації P.
В загальному випадку, якщо зовнішнє електричне поле утворює кут 
з поверхнею діелектрика, то
,
де 
– проекція вектора поляризації на напрямок нормалі поверхні. Для правої поверхні на рис. 128 
, і відповідно 
для неї позитивна; для лівої поверхні 
і відповідно для неї негативна. Оскільки
, то 
,
де 
- нормальна складова напруженості поля всередині діелектрика. В тих місцях, де лінії напруженості виходять із діелектрика 
, на поверхні будуть позитивні зв’язані заряди, там же, де лінії напруженості входять в діелектрик 
, появляються негативні поверхневі заряди.
Оскільки
, а 
, то
.
Звідси напруженість поля в середовищі
,
де 
– відносна діелектрична проникність діелектрика, яка характеризує поляризаційні властивості діелектрика.
Відносна діелектрична проникність діелектрика дорівнює його діелектричній сприйнятливості, збільшеній на одиницю і показує, у скільки разів напруженість електричного поля, утвореного зарядами у вакуумі, більша, ніж напруженість E поля цих зарядів у діелектрику.
Величини 
і 
– безрозмірні і для вакууму 
, 
.
Якщо відносна діелектрична проникність діелектрика дорівнює , то
.
З іншого боку,
Прирівнюючи праві сторони, отримуємо
і 
.
За цією формулою можна обчислити поверхневу густину зв’язаних зарядів, а, отже, і вектор поляризації 
, бо поверхневу густину вільних зарядів можна визначити експериментально.
Всі отримані в попередніх параграфах формули, які описують електричні поля і взаємодії електричних зарядів у вакуумі, залишаються справедливими і якщо ці явища спостерігаються в однорідному ізотропному діелектрику. Тільки у формули, що містять електричну сталу 
, треба ввести відносну діелектричну проникність як співмножник при :
закон Кулона – 
,
напруженість електричного поля точкового заряду – 
,
потенціал електричного поля точкового заряду – 
.
Напруженість електричного поля залежить від властивостей середовища: нормальна складова напруженості поля при переході з вакууму в середовище зменшується в разів. На границі двох діелектриків нормальні складові 
обернено пропорційні до , тобто вектор напруженості при переході через границю діелектриків стрибкоподібно змінюється, створюючи тим самим незручності при розрахунку електричних полів.
У §50 було розглянуто теорему Остроградського-Гаусса для потоку вектора напруженості електричного поля у вакуумі:
,
де 
- вільні заряди.
Узагальнимо цю теорему для випадку електричного поля у діелектрику, в якому поле створюється як вільними, так і зв’язаними зарядами. Тому
,
де 
– зв’язані заряди.
Це співвідношення не можна використати для розрахунку електричного поля в діелектрику, оскільки це поле залежить від величини зв’язаних зарядів, які у свою чергу визначаються полем .
Нехай шар однорідного неполярного діелектрика розміщений між двома нескінченими паралельними площинами, зарядженими з поверхневими густинами вільних зарядів 
і 
(рис. 129). В діелектрику індукуються диполі(
- негативні заряди, 
- позитивні заряди), електричні моменти яких паралельні до . Виберемо малу ділянку 
поверхні 
, яка охоплює як вільні, так і зв’язані заряди. Молекули-диполі електрично нейтральні. Тому внесок в роблять лише ті диполі, які перетинаються поверхнею S. Вектор в межах площадки всюди однаковий і утворює кут із зовнішньою нормаллю 
.
Площадка dS перетинає лише ті dn диполів, центри яких знаходяться всередині, показаного на рис. 129 штриховою лінією, косого циліндра з основою площею dS і твірною, довжина якої дорівнює довжині l молекули-диполя:
,
де n – концентрація молекул діелектрика. Поверхнею S охоплюються негативні заряди диполів і їх величина
,
а 
- вектор поляризації діелектрика. Отже, величина зв’язаних зарядів рівна
.
В результаті,
або
.
В обох інтегралах, що стоять зліва, інтегрування проводиться по одній і тій же замкненій поверхні S. Тому
.
Вектор 
називається електричним зміщенням.
В результаті рівняння, яке виражає теорему Остроградського-Ґаусса для електричного поля в середовищі, можна записати у вигляді:
або
.
де 
- потік електричного зміщення.
Згідно з цією теоремою потік електричного зміщення електричного поля через довільну замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі вільних зарядів, що охоплюються цією поверхнею.
Вектор поляризації пропорційний до напруженості поля в діелектрику. Отже,
.
З чим можна зв’язати вектор електричного зміщення? Зв’язані заряди появляються в діелектрику при наявності зовнішнього електричного поля, що створюється системою вільних зарядів, тобто в діелектрику на поле вільних зарядів накладається додаткове поле зв’язаних зарядів.
Результуюче поле в діелектрику описує вектор напруженості і тому він залежить від властивостей діелектрика. Вектор 
від середовища не залежить і описує електростатичне поле, що створюється вільними зарядами. Зв’язані заряди, що виникають в діелектрику, викликають перерозподіл вільних зарядів. Тому вектор характеризує електростатичне поле, що створюється вільними зарядами (тобто у вакуумі), але при такому їх розподілі в просторі, який є при наявності діелектрика.
Вектор не залежить від властивостей середовища тоді, коли поле створюється зарядженими провідниками в однорідному, ізотропному і безмежному середовищі.
Лінії вектора можуть починатися і закінчуватись як на вільних, так і зв’язаних зарядах, а лінії вектора – лише на вільних зарядах. Через області поля, де знаходяться зв’язані заряди, лінії вектора проходять, не перетинаючись.
ОСТРОГРАДСЬКИЙ МИХАЙЛО ВАСИЛЬОВИЧ
(1801-1862)
Вивів математичну теорему для векторного поля довільної природи:
; 
Ґаусс отримав цю теорему стосовно до електростатичного поля:
КОСОНОГОВ ЙОСИП ЙОСИПОВИЧ
(1866-1922)
Розробив метод вимірювання діелектричної проникності неполярних рідин для сантиметрового діапазону хвиль.
ШЕСТОПАЛОВ ВІКТОР ПЕТРОВИЧ
(нар. 1923 р.)
Використав (1959 р.) для вимірювання діелектричної проникності речовини спіральний хвильовід. Отримав формули для e у випадку, коли спіраль повністю занурена в рідину. Вимірювання діелектричної проникності на частоті 600 МГц дали для бензину, ефіру, хлорбензолу такі результати: 1,87; 4,28; 5,7. Для плексигласу, вініпласту, скла e=2,3; 8 в дециметровому діапазоні.
БУРАК ЯРОСЛАВ ЙОСИПОВИЧ
(нар. 1931 р.)
Отримав (1966 р.) рівняння електропружності ізотропного діелектрика в електростатичному полі.
12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25